Сказано – сделано!
Быстрым гуглением нашёл shell скрипт, позволяющий загружать(и другие операции, в том числе удалять) файлы на DropBox.
Ссылка на проект с гитхаба - https://github.com/andreafabrizi/Dropbox-Uploader
Скачиваем проект и заливаем на сервер.
Я выбрал папку /home/cron/
для содержимого bash скриптов.
Предварительно создаём эту папку.
mkdir /home/cron/
wget https://github.com/andreafabrizi/Dropbox-Uploader/archive/master.zip --output-document=/home/cron/master.zip
Разархивируем архив и перенесём нужный нам файл dropbox_uploader.sh в нашу папку /home/cron/
.cd /home/cron
unzip master.zip
mv Dropbox-Uploader-master/dropbox_uploader.sh dropbox_uploader.sh
rm master.zip
rm -rf Dropbox-Uploader-master
Далее даём права на исполнение chmod +x dropbox_uploader.sh
И запускаем скрипт./dropbox_uploader.sh